简答题

已知函数f(x)在区间[a，b]上可导，且存在|f'(x)| < 1对于任意的x∈[a，b]，同时满足a < f(x) < b当x在该区间内。定义新函数F(x) = ∫(a->x) f(t) dt，并设其图像连续不断。试回答以下问题：（Ⅰ）证明存在x* ∈ (a，b)，使得F(x) = x。（Ⅱ）对于给定的条件，判断函数g(x) = f(x)/F(x)在区间[a，b]上的单调性，并给出理由。若条件不足，请提出进一步的假设或证明思路。

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答案：

解析：

（Ⅰ）部分根据题目给出的条件，通过构造辅助函数$G(x) = F(x) - x$，利用零点定理证明存在$x^*^∈(a，b)$，使得$F(x^*^)=x^*^$。
（Ⅱ）部分由于题目给出的条件不足以直接判断$\frac{f(x)}{F(x)}$在区间$[a, b]$上的单调性，需要进一步的条件和证明。可以通过求导或其他方法进一步探讨。

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