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单选题

奇函数f(x)在闭区间[-1,1]上可导,且其导数的绝对值恒小于等于某个正常数M,则关于f(x)的值域在区间[-1,1]上的表述正确的是:

A
|f(x)|≥M
B
|f(x)|>M
C
|f(x)|≤M
D
|f(x)|<M
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答案:

C

解析:

由于f(x)是奇函数,根据奇函数的性质,我们知道f(0)=0。接下来,对于任意的x值,我们可以使用拉格朗日中值定理在区间[0,x](或[-x,0])上,得到存在一个ξ使得f’(ξ)表示该区间上的平均斜率。由于已知条件给出的是绝对值形式,我们可以得到|f’(ξ)|≤M。由于ξ在区间[0,x](或[-x,0])上,所以它的最大可能值是1(对于闭区间[-1,1])。因此,我们可以得到不等式关系:|f(x)|=|f(x)-f(0)|=|f’(ξ)||x-0|≤M·1,这意味着对于区间[-1,1]上的任意x值,|f(x)|的值都小于或等于M。因此,正确答案是C选项。

创作类型:
原创

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