求下列积分： （Ⅰ）∫xsin⁡x²dx

（Ⅰ）对于$\int x\sin x^{2}dx$，我们可以利用分部积分法，通过求导得到$\cos x^{2}$，再进行积分得到答案$x\cos(x^{2}) + \frac{\sin(x^{2})}{2}$。

（Ⅱ）对于$\int\frac{dx}{\sqrt{1 - \sin^{2}x}}$，我们可以利用三角恒等变换将其转化为$\int\frac{dx}{\cos x}$，再利用对数函数性质求解得到答案$\frac{\sqrt{2}}{4}\ln|\frac{\sqrt{2} + \sin x}{\sqrt{2} - \sin x}| + \frac{\pi}{4}$。

（Ⅲ）对于$\int_{0}^{\infty}\sqrt{x}\sin xdx$，首先进行三角恒等变换，然后利用微积分基本定理求解得到答案$\frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{x\sin(\sqrt{x})}{2} + C$。其中C为常数。

（Ⅳ）对于$\int\cos^{- 1}(1 - 2x^{2})dx$，我们可以通过换元法将其转化为简单的三角函数积分，求解得到答案$\frac{\pi}{4}x + \frac{1}{2}\sin 2x$。

（V）对于定积分$\int_{0}^{\pi}\sin^{3}xdx$，我们可以利用换元法将其转化为简单的三角函数积分并利用微积分基本定理求解得到答案$\frac{\pi^{2}}{8}$。此题需要注意积分上下限的变化。

（VI）对于定积分$\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(x + y)dxdy$，我们可以利用积分区间可加性求解得到答案$\frac{\pi^{2}}{4}$。此题需要注意二重积分的计算过程。