(Ⅰ)根据所给的两阶段运动过程，求$S_{1} + S_{2}$关于时间t的函数表达式； (Ⅱ)证明：$S_{1} + S_{2}$存在最小值。

(Ⅰ)首先，根据题目给出的两个阶段的运动过程，我们可以知道第一阶段是初速度为$v_{0}$的匀加速直线运动，第二阶段是速度为$v_{0} + at$的匀速直线运动。因此，我们可以根据速度公式求出两阶段的位移表达式，然后相加得到总位移$S_{1} + S_{2}$的表达式。具体计算过程为：第一阶段位移$S_{1}$为$\frac{v_{0}t}{2}$，第二阶段位移$S_{2}$为$(v_{0} + at)t$，所以$S_{1} + S_{2} = \frac{v_{0}t}{2} + (v_{0} + at)t = \frac{1}{2}at^{2} + (v_{0} + at)t$。

(Ⅱ)要证明$S_{1} + S_{2}$有最小值，我们可以根据导数的性质，先求出$S_{1} + S_{2}$关于时间t的导数，然后找到导数为0的点，这个点就是函数$S_{1} + S_{2}$的拐点，也就是最小值点。具体证明过程可以参考给出的解析，根据图像和速度公式，通过求导找到函数的拐点，从而证明$S_{1} + S_{2}$有最小值。