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单选题
请判断以下四个级数(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)、(Ⅳ)的收敛性关系。
A
B
C
D
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答案:
解析:
观察给定的四个级数(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)、(Ⅳ),它们都是正项级数。对于正项级数的收敛性,有以下性质:
(1)如果一个正项级数的部分和序列有界,则该正项级数收敛。
(2)如果一个正项级数的任意一项不大于另一个正项级数的相应项,且后者发散,则前者也发散。反之,如果一个正项级数的部分和序列趋于无穷大,则该正项级数发散。
对于选项A,若(Ⅰ)收敛,只能说明(Ⅰ)本身收敛,不能推断(Ⅲ)和(Ⅳ)的收敛性。因此A错误。
对于选项B,(Ⅱ)是所有给定级数的上界,即每一项都不小于其他级数相应的项。如果(Ⅱ)收敛,根据正项级数的性质,那么(Ⅰ)、(Ⅲ)和(Ⅳ)都收敛。因此B正确。
对于选项C,即使(Ⅲ)和(Ⅳ)发散,也不能确定(Ⅰ)和(Ⅱ)的发散性。因此C错误。
对于选项D,(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)、(Ⅳ)的收敛性确实存在确定的关系,即如果(Ⅱ)收敛,则其他三个也都收敛。因此D错误。
创作类型:
原创
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