请分别求出下列幂级数的收敛域及和函数。 （Ⅰ）$\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}(n + 1)$ （Ⅱ）$\sum_{n=1}^{\infty} nx^{n}$ （Ⅲ）$\sum_{n=1}^{\infty} n\left( \frac{x}{n} \right)^{n}$ （Ⅳ）$\sum_{n=0}^{\infty}\left[\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n}\cdot x^{n}\right]$

对于每一个幂级数，首先需要根据级数的形式求出收敛半径，然后确定收敛域。接着，根据幂级数的性质求出部分和，进而得到和函数。具体过程如下：
（Ⅰ）对于$\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}(n + 1)$，可以识别出它的形式为等比数列求和的形式，通过计算可以得出收敛半径为$r=1$，因此收敛域为$(-1, 1)$。然后计算部分和并求极限得到和函数$\frac{x}{1 + x}$。
（Ⅱ）对于$\sum_{n=1}^{\infty} nx^{n}$，同样先计算收敛半径，得到$r=\infty$或$r=-\infty$。然后根据级数的性质求出部分和并求极限得到和函数$\frac{x}{e^{x} - 1}$。注意到在$x=0$处也收敛，所以总的收敛域为$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$。
（Ⅲ）对于$\sum_{n=1}^{\infty} n\left( \frac{x}{n} \right)^{n}$，首先识别出它的形式并利用幂级数的性质进行计算。通过计算可以得到收敛半径为无穷大，即在整个实数范围内收敛。然后计算部分和并求极限得到和函数$- \frac{\ln(1 - x)}{x}$。注意到在$x=0$处也收敛，所以总的收敛域为$(-\infty, +\infty)$。
（Ⅳ）对于$\sum_{n=0}^{\infty}\left[\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n}\cdot x^{n}\right]$，先求出收敛半径为$\frac{3}{4}$。然后根据幂级数的性质求出部分和并求极限得到和函数$\frac{x^{2}}{2(x^{2} - 1)}$。因此收敛域为$[-\frac{3}{4}, \frac{3}{4}]$。