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简答题

设某生产商的总收益函数为R(Q)=30Q-3Q²,总成本函数为C(Q)=2+2Q+Q²。生产商的目标是最大化利润,同时税务机关对产品征税。请按照以下两个问题解答: (Ⅰ)求生产商纳税前的最大利润及其对应的产品产量和产品价格。 (Ⅱ)考虑税收因素,求征税后收益的最大值及此时的税率。

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答案:

解析:

(Ⅰ)首先,我们需要找到生产商纳税前的利润函数。根据题目给出的总收益函数R(Q)和总成本函数C(Q),我们可以得到利润函数为:
π(Q) = R(Q) - C(Q) = (30Q - 3Q^2) - (2 + 2Q + Q^2)。通过整理,我们得到:
π(Q) = -4Q^2 + 28Q - 2。为了找到最大利润,我们需要找到这个函数的最大值点。由于这是一个开口向下的二次函数,最大值出现在顶点处,顶点横坐标即为产品数量Q。通过对利润函数求导并令其等于零,我们可以找到Q的值,进而求得最大利润以及此时的产品价格。

(Ⅱ)考虑到税务机关对产品征税的情况,我们需要考虑税率t对生产商的纳税后利润的影响。假设纳税后获得最大利润的产量为Qt,那么征税收益函数为T = tQt。为了找到征税收益的最大值以及此时的税率t,我们需要将第一部分求得的Q值代入征税收益函数,然后分析t的变化对T的影响,通过求导或不等式等方法找到使T最大的t值。

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