设$A$为$m \times n$阶矩阵，$B$为$n \times s$阶矩阵，且$AB = O$（即$A$与$B$的乘积为零矩阵）。请证明：$r(A) + r(B) \leq n$。

为了证明$r(A) + r(B) \leq n$，我们可以按照以下步骤进行推导：

1. 由题目已知，矩阵$A$和矩阵$B$的乘积为零矩阵，即$AB = O$。
2. 根据矩阵的秩的性质，我们知道对于一个可逆矩阵$P$，有$r(PA) = r(A)$和$r(PB) = r(B)$。这里$P$是一个置换矩阵。
3. 对矩阵$A$进行列分块，得到新的矩阵$\overset{\sim}{A}$，其列数等于矩阵$B$的行数，即$\overset{\sim}{A}$的列数为$n$。同样地，对矩阵$B$进行行分块，得到新的矩阵$\overset{\sim}{B}$。由于矩阵的秩在列变换或行变换下是不变的，所以我们可以得到$r(\overset{\sim}{A}) = r(A)$和$r(\overset{\sim}{B}) = r(B)$。
4. 将矩阵$\overset{\sim}{A}$和$\overset{\sim}{B}$组合起来形成一个新的矩阵$\lbrack\overset{\sim}{A}\overset{\sim}{B}\rbrack$。由于这个新矩阵是一个垂直拼接的矩阵，所以其秩满足不等式：$r(\lbrack\overset{\sim}{A}\overset{\sim}{B}\rbrack) \leq r(\overset{\sim}{A}) + r(\overset{\sim}{B})$。这里我们用到了矩阵秩的一个基本性质：如果矩阵是由若干子矩阵组合而成的，那么这些子矩阵的秩的和不会超过组合后的矩阵的秩。即，对于任意两个矩阵$C_1$和$C_2$，有：$r(C_1) + r(C_2) \leq r(\lbrack C_1 C_2 \rbrack)$。这是因为在组合后的矩阵中可能存在冗余的行或列。
5. 由于已知条件$AB = O$，我们知道新的组合矩阵$\lbrack\overset{\sim}{A}\overset{\sim}{B}\rbrack$的秩为$n$（因为该矩阵相当于把矩阵$A$和零矩阵组合在一起）。因此我们有：$r(\overset{\sim}{A}) + r(\overset{\sim}{B}) = r(A) + r(B) \leq n$。这就证明了题目中的结论。