给定向量组α₁=(1,1,1,3)^T，α₂₃=(3,2,-1，a+2)^T，α₄₁、α₂、α₃、α₄线性表示； （II）求当a为何值时，该向量组线性相关，并求其一个极大线性无关组。

（I）对于向量组的线性无关性判断，可以通过计算其行列式或者利用向量的性质进行判断。当向量组的行列式不为零时，该向量组线性无关。在这个问题中，当a不等于某个特定值时（这里是a ≠ 2），向量组是线性无关的。对于将向量β用α~i线性表示的问题，可以通过解方程组的方法解决。
（II）当向量组线性相关时，意味着其中部分向量可以由其他向量线性表示。在这种情况下，我们可以找到向量组的极大线性无关组。在这个问题中，当a等于某个特定值时（这里是a = 2），向量组线性相关。我们可以选择其中的一部分向量作为极大线性无关组。具体来说，当α~3~可以由α~1~, α~2~, α~4线性表示时，我们可以选择α~1~, α~2~, α~4~~作为极大线性无关组。