已知向量α₁=(1,0,2,3)^T，α₂=(1,1,3,5)^T，α₃=(1,-1,a,1)^T，β=(1,b,4,7)^T。请问当a和b取何值时，向量β不能由α₁、α₂、α₃线性表示？当β可以由这三个向量线性表示时，写出其线性表示表达式。

首先，我们需要判断β是否能由α₁，α₂，α₃线性表示。这等价于求解方程组β = x₁α₁ + x₂α₂ + x₃α₃是否有解。我们可以通过求解这个方程组的增广矩阵来找到答案。根据增广矩阵的阶梯形，我们可以得到以下结论：

（Ⅰ）当4-2b ≠ 0，即b ≠ 2时，方程组无解，这意味着β不能由α₁，α₂，α₃线性表示。这是因为无解意味着不存在一组x的值可以满足方程。

（Ⅱ）当b = 2且a ≠ 1时，r(A)=r(A)=3（这里似乎有重复的部分，可能是输入错误），方程组有唯一解（-1，2，0）^T。这意味着β可以唯一地表示为-α₁+2α₂的形式。在这种情况下，我们有唯一的一组解满足方程。

（Ⅲ）当b = 2且a = 1时，方程组的解不唯一。我们可以通过设定一个参数（如t），并找到其他参数与这个参数的关系来找到无穷多的解。这意味着β可以表示为多个形如(-1-2t)α₁+(2+t)α₂+tα₃的线性组合。在这种情况下，有多组解可以满足方程。