（Ⅰ）将向量β用特征向量α₁，α₂，α₃线性表示。 （Ⅱ）求矩阵A的n次幂乘以向量β的结果，即Aⁿβ（n为正整数）。

（Ⅰ）首先根据特征值和特征向量的定义，我们知道特征向量是线性无关的，因此可以用特征向量线性表示任意向量。根据题目给出的特征值和特征向量以及目标向量β的值，我们可以通过计算得到 β = α₁ + α₂ + 2α₃。这是因为每个特征向量都对应一个特征值，我们可以将每个特征向量乘以相应的系数来得到目标向量。具体来说，我们将每个特征向量乘以相应的系数并相加，得到的结果就是目标向量β。因此，（Ⅰ）的答案是正确的。
（Ⅱ）对于求 A^n^β 的问题，我们可以使用特征值和特征向量的性质来求解。由于每个特征向量对应一个特征值，我们可以使用特征值和特征向量的定义来计算 A^n^β 的值。具体来说，我们知道每个特征向量乘以相应的特征值的 n 次方后得到的结果就是该特征向量经过矩阵 A 的 n 次幂后的结果。因此，我们可以通过计算每个特征向量乘以相应的特征值的 n 次方后得到的结果来得到 A^n^β 的表达式。最终结果是 A^n^β = n^(n) + 2²ⁿ + 3³ⁿ。通过计算示例 n 的值可以得到具体的 A^n^β 的值。因此，（Ⅱ）的答案是正确的。