（数学三）关于矩阵与非齐次线性方程组的问题 （Ⅰ）给定矩阵A是m×n矩阵，α₁和α₂是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解。证明α₁和α₁-α₂线性无关。 （Ⅱ）若β是Ax=0的一个非零解向量，且r(A)=n-1，证明β、α₁和α₂线性相关。

{(Ⅰ)为了证明α~1~和α~1~-α~2~线性无关，我们可以使用定义法。设k₁α~1~+k₂(α~1~-α~2~)=0。由于α~1~和α~2~是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解，所以k₁和k₂必须都为0，否则无法得到零向量。因此，我们得出α~1~和α~1~-α~2~线性无关。
(Ⅱ)为了证明β、α~1~和α~2~线性相关，我们首先需要知道β和α~1~-α~2~都是Ax=0的非零解。由于r(A)=n-1，我们知道矩阵A的秩为n-1，这意味着Ax=0至少有两个不同的解向量。因此，根据向量线性相关的定义，β、α~1~和α~2~必然线性相关。}