给定矩阵A是一个3×4矩阵，其秩r(A)=1。已知向量组α₁=(1,2,0,2)^T, α₂=(-1,-1,1,a)^T, α₃=(1,-1,a,5)^T, α₄=(2,a,-3,-5)^T都是Ax=0的解。求Ax=0的通解。

根据题意，向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$与$Ax=0$的基础解系等价，因此它们都是$Ax=0$的解。由于矩阵A的秩$r(A)=1$，我们知道$Ax=0$有$n-r(A)=4-1=3$个线性无关的解向量。这意味着向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$的秩也为3，并且它们的极大线性无关组就是$Ax=0$的基础解系。
通过初等行变换，我们可以得到$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$是$Ax=0$的基础解系。因此，通解的形式为：$x = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3$，其中$k_1,k_2,k_3$为任意常数。