给定一个四元线性方程组，该方程组基于四个向量α_{1}，α_{2}，α_{3}，α_{4}，其中α_{1}，α_{2}，α_{3}线性无关，并且α_{4}=α_{1}+α_{2}+2α_{3}。设矩阵B由某些线性组合构成，使得方程组Bx=α_{4}有无穷多解。求： （Ⅰ）k的值； （Ⅱ）方程组的通解。

(Ⅰ)首先，由于 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 线性无关，并且 $\alpha_{4}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+2\alpha_{3}$，我们可以得到矩阵 B 的行列式等于零的条件是 $k+1=0$，解得 $k=-1$。但由于方程组 $Bx=\alpha_{4}$ 有无穷多解，我们知道矩阵 B 的秩小于矩阵的维数，即矩阵 B 不满秩，从而得到 $k \neq -1$。因此，结合以上分析，我们得出 $k=1$。
(Ⅱ)已知 $k=1$，我们可以求出矩阵 B 的逆矩阵 $B^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{6}\end{array}\right]$。根据线性方程组的解的性质，我们有 $x=B^{-1}\alpha_{4}$。代入 $\alpha_{4}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+2\alpha_{3}$ 和 $B^{-1}$，我们可以得到方程组的通解为 $\left{ \begin{array}{r} x_{1} = \frac{4}{3} + \frac{2}{t} \ x_{2} = \frac{1}{3} - \frac{t}{3} \ x_{3} = t \ \end{array} \right.$。其中 $t$ 为任意实数。