设矩阵A为三阶矩阵，向量α为三维列向量，矩阵P由向量α，Aα和A²α构成且可逆，矩阵B=P⁻¹AP满足条件A³α+2A²α=3Aα，求|A+E|的值。

根据题目给出的条件，我们知道矩阵P是可逆的，并且B=P^-1^AP。同时，给出了A^3^α+2A^2^α=3Aα的关系。通过这些条件，我们可以推导出矩阵A的特征。

由于A^3^α+2A^2^α=3Aα，我们可以推断出矩阵A的三次方乘以向量α加上矩阵A的平方乘以向量α等于矩阵A乘以向量α的三倍。这进一步说明矩阵A的特征值λ满足λ^3+2λ^2=3λ，即λ(λ^2+2λ-3)=0，从中我们可以得出λ=0或λ=3为矩阵A的特征值。

接下来，我们知道矩阵B=P^-1^AP，由于P是可逆的，所以矩阵B与矩阵A相似。这意味着矩阵B的特征值也是λ=0或λ=3。因此，我们可以计算矩阵B的迹（所有特征值的和）为tr(B)=3。而矩阵P的列是由向量α，Aα和A^2^α组成，这意味着矩阵P的迹也为tr(P)=3。因此，我们有tr(P^-1)=1/tr(P)=1/3。因为矩阵是可逆的，所以其行列式的值等于其特征值的乘积，即det(P)=λ_1λ_2λ_3=0。因此，我们有det(P^-1)=1/(det(P))=0。进一步得到det(B)=det(P^-1AP)=det(P)^(-1)det(A)det(P)=det(A)。由于矩阵B的行列式等于其特征值的乘积，我们有det(B)=λ_1λ_2λ_3=0或-9（因为其中一个特征值为零）。因此，我们有det(A)=det(B)=-9或0（舍去）。所以我们可以得到|A+E|=4或-4。但由于题目中给出的条件是特殊情况下得出的结果，所以最终结果应为|A+E|=-4。