设3阶实对称矩阵A的特征值为λ₁=λ₂=1，λ₃=-1，α₁和α₂分别是λ₁和λ₂对应的特征向量。 （I）求A的属于λ₃的特征向量α₃。 （II）基于已知信息，求矩阵A。 （III）对于n阶实对称矩阵A，若满足A^2=A且秩r(A)=r

(I)对于实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，因此我们可以设立一个以α_{1}，α_{2}，α_{3}为正交向量组的方程组来求解α_{3}。解这个方程组，我们可以得到α_{3}的具体形式。
(Ⅱ)根据已知条件α_{1}，α_{2}是λ_{1}=λ_{2}=1对应的特征向量，且实对称矩阵A可以与由特征向量构成的矩阵相似对角化。我们可以通过这个性质以及已知的特征值和特征向量来求出矩阵A的具体形式。
(Ⅲ)由于A是实对称矩阵，我们知道A必相似于对角矩阵。结合已知条件A^{2}=A和r(A)=r，我们可以推断出矩阵A的特征值只能为0或1。然后我们可以利用这些信息以及矩阵的行列式计算公式求出|3E-A|的值。
(IV)对于这个问题，我们知道A^{2}=A，所以A的特征值是0和1。但是，没有给出A是实对称矩阵的条件，所以我们不能直接断定A可以相似对角化。我们需要先检验A是否相似于对角矩阵，然后再计算|3E-A|的值。