设A是行阶实对称矩阵，α₁，α₂，…，α_n是A的n个单位正交特征向量，对应的特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n证明：．

要证明题目中的结论，我们可以按照以下步骤进行推导：

第一步，根据题目已知，A是行阶实对称矩阵，α~1~，α~2~，…，α~n~是A的n个单位正交特征向量，对应的特征值为λ~1~，λ~2~，…，λ~n~。根据实对称矩阵的性质，我们知道实对称矩阵的特征向量两两正交。

第二步，根据特征向量的定义，我们有$A\alpha_{i} = \lambda_{i}\alpha_{i}$。那么我们可以计算$A^{2}\alpha_{i}$的值，根据矩阵乘法有$A^{2}\alpha_{i} = AA\alpha_{i} = A(\lambda_{i}\alpha_{i}) = \lambda_{i}^{2}\alpha_{i}$。这表明$A^{2}$的特征向量仍然是$\alpha_{i}$，但对应的特征值变为$\lambda_{i}^{2}$。

第三步，对于矩阵的迹（即对角线上元素之和），我们有$\text{tr}(A^{k})$表示的是矩阵A的k次方对角线元素之和。根据矩阵的迹的性质，我们有$\text{tr}(A^{k}) = \sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}^{k}$。这是因为矩阵的迹等于特征值的和。因此，题目中的结论可以转化为证明$\text{tr}(A^{k})$等于对应特征值的某种函数。在本题中，我们只需要证明$\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}$即可。由于实对称矩阵的特征向量两两正交，我们知道这些特征向量构成的矩阵是正交矩阵，因此它们的模长（即特征值）的乘积等于矩阵的行列式值，而行列式值等于矩阵的迹（当矩阵为方阵时）。因此，我们得到$\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}$。由于$\alpha_{i}$是单位正交特征向量，所以每个特征值的模长即为特征值本身。因此，我们证明了题目中的结论。