设A^TA=E，证明：A的实特征值的绝对值为1．

此题考察了线性代数中关于特征值和特征向量的知识。首先假设存在一个实特征值和对应的特征向量满足AX=λX的关系。然后通过对等式两边左乘XT并利用已知的ATAX=E的条件进行推导，最终得到特征值的平方等于向量长度的平方的比值。由于向量长度的平方总是大于等于零，所以特征值的绝对值等于其本身的平方根，即绝对值为1。