此题应首先根据题目给出的条件 $\alpha^T\beta=k$，推导出矩阵 $A^2$ 与矩阵 $A$ 的关系，即 $A^2=kA$。然后需要利用特征值和特征向量的定义和性质，结合题目给出的矩阵 $A$ 的特征多项式来进行进一步的分析和求解。
由于题目没有给出矩阵 $A$ 的具体形式和特征多项式，因此无法给出具体的解答过程和结果。