简答题

一、根据下列信息求矩阵中的参数及特征向量： (1) 求矩阵中的参数 a 的值；矩阵方程如下： $$ \begin{bmatrix} a & 2 \\ -1 & 3 \\ \end{bmatrix} $$ 通过矩阵运算求解 a 的值。 (2) 求矩阵 A 的特征向量；假设矩阵 A 已给出。将 λ=-2 代入 (λE-A)X=0 中求解特征向量。解出对应的 X 即为 A 的特征向量。将λ=-2代入后得到方程 (2E+A)X=0。解此方程可以得到 A 的特征向量。二、求可逆矩阵 P，使得 P^-1AP 为对角阵。请找到矩阵 A 的所有特征值和特征向量，构造矩阵 P，并计算 P^-1AP。本题需要用到特征值和特征向量的相关知识。

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答案：

解析：

(1) 根据题目给出的矩阵方程，通过矩阵运算可以求得a的值为-2。
(2) 要求A的特征向量，需要将λ=-2代入(λE-A)X=0，解出对应的X即为特征向量。将λ=-2代入后，得到(2E+A)X=0，解此方程可以得到A的特征向量为$[-1, 1]$。
(3) 为了使P^-1AP为对角阵，需要找到矩阵A的所有特征值和特征向量。然后，将这些特征向量作为列向量构造矩阵P。最后，通过计算可以得到P^-1AP为对角阵。具体计算过程需要用到特征值和特征向量的相关知识。

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