证明：n阶矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵P，使得A=P^TP．

充分必要条件意味着两个方向都需要证明。首先证明存在可逆矩阵P使得$A=P^{T}P$是矩阵A正定的充分条件。然后证明这是必要条件。

充分性证明：若存在可逆矩阵P使得$A=P^{T}P$，由于$P^{T}P$是正定矩阵（因为转置矩阵的乘积总是正定的），因此矩阵A也是正定的。

必要性证明：假设矩阵A是正定的。我们知道正定矩阵可以分解为$A=Q^{T}Q$的形式，其中Q是满秩矩阵（即可逆矩阵）。由于任何两个满秩矩阵的分解不是唯一的，我们可以设$Q=P^{-1}$，从而得到$A=(P^{-1})^{T}P^{-1}=P^{T}P$。因此，存在可逆矩阵P使得$A=P^{T}P$是矩阵A正定的必要条件。

综上所述，存在可逆矩阵P使得$A=P^{T}P$是矩阵A正定的充分必要条件。