设A是三阶实对称矩阵，已知条件为A^2 + 2A = O且r(A) = 2，求：（1）矩阵A的全部特征值；（2）当k为何值时，矩阵A + kE为正定矩阵。

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答案：

解析：

(1) 由于A是三阶实对称矩阵，且满足A^2 + 2A = O，我们可以得到矩阵的秩的关系：r(A) + r(A + 2E) ≤ 3。因为已知r(A) = 2，所以r(A + 2E) ≤ 1。这意味着矩阵A + 2E的行列式为零，即它的特征多项式在λ=-2处有根。因此，矩阵A的特征值可能为0或-2。又因为实对称矩阵的特征值可以对应不同的特征向量，所以我们可以确定λ1 = 0，λ2 = λ3 = -2。

(2) 对于矩阵A+kE，我们需要找到使得其所有特征值都大于零的k值，以保证其为正定矩阵。已知矩阵A的特征值为λ = -2和λ = 0，所以矩阵A+kE的特征值为k和k-2。为了满足所有特征值都大于零的条件，我们需要k > 0且k-2 > 0，从而得到k > 2。因此，当k > 2时，矩阵A+kE为正定矩阵。