设两台同样的记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当发生故障时停用而另一台自动开动．求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度．

设X和Y分别表示两台记录仪先后开动无故障工作的时间，由于每台记录仪无故障工作的时间服从参数为λ的指数分布，因此X和Y的概率密度函数均为λe^(-λt)（t ≥ 0）。由于T = X + Y，根据概率密度函数的卷积性质，两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度函数可以通过X和Y的概率密度函数进行卷积求得。具体地，f(t) = ∫(λe^(-λx)) * λe^(-λ(t-x)) dx，计算后得到f(t) = λ^2 * e^(-λt) * t（t ≥ 0）。因此，两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度为λ^2 * e^(-λt) * t。