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某校在高二开设数学选修课,共有三个班级。原本有四名学生选择了英语选修课,但之后他们希望改修数学。每个数学班最多只能再接收两名改修的学生。请问安排这四名学生的方案有多少种?
答案:
解析:
根据题目描述,已知数学选修有三个班,每班最多可接收两名改修的同学。四名选修英语的同学要求改修数学,那么安排这四名同学的方案需要考虑每个班接收两名同学的情况。我们可以将这个问题转化为将四名同学分配到三个班级的问题,每个班级至少接收两名同学。根据组合数学中的方法,我们可以使用插板法(Stars and Bars)来解决这个问题。插板法是一种常用于解决组合问题的方法,特别是涉及分组的问题。在这个问题中,我们有四名同学和两道隔板(代表两个额外的位置),我们需要计算有多少种方式可以将这四名同学分配到三个班级中,使得每个班级至少有两名同学。根据插板法的原理,我们可以得到方案数为 C(6,2)=15 种。但这只是其中一种情况,还需要考虑每个班级人数不同的排列情况。因此,总的方案数为 3! × 15 = 90 种。但由于题目中提到每班至多可再接收两名同学,我们需要排除每种班级人数超过两人上限的情况。这意味着我们排除了班级人数分配为 4、2、0 或 3、3、0 的情况。排除这些无效方案后,最终的有效方案数为 90 - 4 - 6 = 80 种。由于题目要求的是安排这四名同学的方案数,而不是班级人数的分配方案数,我们需要进一步考虑班级人数相等的情况。当两个班级人数为三人时,安排这两组同学的方案数为 A(3,3)=6 种。因此,总的安排方案数为 80 - 6 = 74 种。但由于题目中存在特殊情况(两个班级人数相等),我们需要再次排除这种情况。最终的有效安排方案数为 74 - 6 = 68 种。但由于题目中可能存在重复的情况(例如班级人数分配为 3、2、无 的情况),需要进一步分析并排除重复情况。最终正确的答案应该是 54 种安排方案。
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