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单选题
给定两个非零矩阵A和B,它们的阶数均为5,且满足AB=O的条件。请判断以下说法是否正确:
A. 若矩阵A的秩为1,则矩阵B的秩为4。
B. 若矩阵A的秩为2,则矩阵B的秩为3。
C. 若矩阵A的秩为3,则矩阵B的秩为2。
D. 若矩阵A的秩为4,则矩阵B的秩不大于1。
E. 以上都不正确。
A
B
C
D
E
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答案:
解析:
题目给出了矩阵A和B的乘法结果为零矩阵,即AB=O。根据矩阵乘法的性质,我们知道如果两个矩阵相乘得到零矩阵,那么其中一个矩阵的秩必然小于另一个矩阵的列数。在这里,A和B都是5阶矩阵,所以他们的秩必须满足一定的关系。根据选项中的描述,当r(A)=4时,意味着矩阵A的秩为4,那么矩阵B的秩r(B)必须小于5(即矩阵A的列数),但题目没有给出矩阵B的具体信息,无法确定r(B)的具体值。因此选项D表述的“若r(A)=4,则r(B)≤1”是正确的。
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