给定实数集上的向量组α，β，γ线性无关，若向量组α+2β，2β+kγ，α+3γ线性相关，求实数k的值。

由题意知向量组α，β，γ线性无关，所以可以得到矩阵的秩为三，又向量组α+2β，2β+kγ，α+3γ线性相关，所以可以得到矩阵的秩为二。由于两个线性无关的向量组通过线性组合得到的新向量组线性相关，说明两个线性无关的向量组之间的过渡矩阵只有一个元素不为零。由此可以得到过渡矩阵为（α+2β，β，γ）和（α，β，α+3γ），进而求解得到k的值为-3。