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面试题

请阐述对于一个n*n的对称矩阵A,如何按照列为主的次序将其对角线及对角线上方的元素存储在一维数组B[1..n(n+1)/2]中,并确定矩阵中任意元素aij在数组B中的具体位置。

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答案:

解答思路:

对于这个问题,首先需要理解对称矩阵和对角线元素的定义,以及如何以列为主的次序存放矩阵元素到一维数组中。然后,我们需要找到元素aij在一维数组B中的位置。我们可以按照以下步骤来解答:

  1. 对称矩阵的定义:一个n*n的矩阵A是对称的,当且仅当对于所有的i和j(1≤i,j≤n),有aij=aji。也就是说,矩阵的上三角和下三角是关于主对角线对称的。
  2. 对角线元素的定义:在矩阵中,对角线元素是指行号和列号相等的元素,即a11,a22,…,ann。
  3. 以列为主的次序存放矩阵元素到一维数组B中:这意味着从矩阵的第一列开始,从上到下依次存放每一列的元素,直到最后一列。在这个过程中,会遇到对角线元素被存放两次(一次是在上三角,一次是在下三角),但在实际的存放过程中,对角线元素只会被存放一次。
  4. 确定元素aij的位置:我们可以按照矩阵的列优先顺序,先计算aij之前的元素数量(包括对角线元素和对角线上方的元素),然后加上当前列中已处理过的行数(不包括当前行),即可得到aij在一维数组B中的位置。具体计算方式为:位置 = (j-1)n + i - (j(j-1)/2)。其中,(j*(j-1)/2)表示对角线上方的元素数量。需要注意的是,这个公式只在i≤j时有效。如果i>j,那么需要根据对称性找到对应的元素位置。

最优回答:

对于元素aij (1≤i,j≤n,且i≤j),在一维数组B中的位置为:(j-1)n + i - (j(j-1)/2)。这是因为我们按照列优先的顺序存放矩阵元素,并且在计算位置时要考虑到对角线上方的元素数量。同时,由于对称矩阵的特性,我们可以保证这个公式在i≤j时有效。如果i>j,我们可以通过对称性找到对应的元素位置。

解析:

除了上述解答中涉及到的对称矩阵、对角线元素、矩阵元素的存储顺序等知识点外,还需要了解一维数组和矩阵的基本概念和操作。此外,对于这个问题,还需要具备一定的算法设计和编程能力,能够根据实际情况设计和实现相应的算法来解决问题。
创作类型:
原创

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